Homothétie

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Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.

Le terme, dû au mathématicien français Michel Chasles, est composé des deux éléments d'origine grecque, le préfixe homo- pour « semblable » et thesis pour « position ». Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation. Ainsi, deux poupées russes regardant dans la même direction peuvent être vues comme homothétiques.

Dans la suite nous traitons des homothéties du plan, mais les propriétés énoncées restent vraies dans l'espace.

Sommaire

[] Géométrie du point

[] Définition

Soient O un point du plan P et k un réel non nul, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M' défini par :

[1]\qquad \overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}

[] Valeurs particulières de k

pour k = 1
Chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identique.
pour k = -1
L'homothétie de rapport -1 est la symétrie centrale de centre O.

[] Propriétés

[] Propriété vectorielle

Si par l'homothétie h de centre O et de rapport k, A a pour image A ' et B a pour image B ' alors :

[2]\qquad \vec{A'B'} = k \vec{AB}. Cette propriété rappelle le fameux théorème de Thalès.

Elle permet de construire l'image de tout point connaissant le centre O de l'homothétie et l'image A' d'un point A.

Image:homothetie.pngImage:homothetie.png

L'image du point B est le point d'intersection de la droite (OB) et de la droite parallèle à (AB) passant par A'.

Cette égalité caractérise les homothéties : soit f une transformation. On appelle M' l'image de M. S'il existe un réel k, différent de 1, tel que, pour tout point A et tout point B, \overrightarrow{A'B'} = k\overrightarrow{AB}, alors f est une homothétie, son rapport est k et son centre est le barycentre des points (A, k) et (A', -1)

Démonstration

[] Homothétie et trapèze

Si ABCD est un trapèze tel que \overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{AB} avec k différent de 1, il existe deux homothéties transformant [AB] en [CD]. Une de centre O' intersection des diagonales et de rapport -k et l'autre, de centre O intersection des droites (AD) et (BC) et de rapport k.

Image:Homothetie et trapeze.pngImage:Homothetie et trapeze.png

[] Invariance

  • L'homothétie conserve les angles orientés. En particulier elle conserve aussi le parallélisme et l'orthogonalité.
  • L'image d'une droite est une droite.
  • L'image d'un cercle est un cercle.
  • Une homothétie de rapport k, \left| k \right|\ne 1, n'est pas une isométrie : elle modifie les distances dans le rapport |k| et les aires dans le rapport k².
  • Si, en général, les homothéties ne conservent pas les distances, elles conservent les proportions. Ce sont donc des similitudes. Comme, de plus, elles conservent les angles orientés, elles font partie des similitudes directes.

[] Composition

La composée de deux homothéties de centre O et de rapports k et k' est une homothétie de centre O et de rapport kk'. L'ensemble des homothéties de centre O est donc un groupe commutatif isomorphe à R*.

La composée hO' o hO de deux homothéties de centres différents O et O' et de rapports k et k' est

composée de deux homothétie kk'=1composée de deux homothétie kk'=1

  • une homothétie de rapport kk' et de centre O" barycentre des points (O , kk'- k') et (O' , k'-1) si kk' est différent de 1.

composée de deux homothéties kk' différent de 1composée de deux homothéties kk' différent de 1

La composée t o h d'une homothétie de centre O et de rapport k et d'une translation de vecteur \vec{u} est aussi une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre des points (O, k) et (O', -1) où O' est le point tel que \overrightarrow{OO' }= \vec{u}. Enfin la composée h o t est une homothétie de rapport k et de centre O" barycentre de (O' , k) et (O , -1) où O' est le point tel que \overrightarrow{O'O }= \vec{u}.

Ces propriétés font de l'ensemble des homothéties-translations est un groupe non commutatif.

[] Géométrie vectorielle

Dans un espace vectoriel V sur un corps K, on appelle homothétie de rapport k (k non nul) , l'application qui, à tout vecteur \vec{v}, associe le vecteur k\vec{v}.

C'est un cas particulier d'application linéaire. Dans une homothétie, il n'existe qu'une seule valeur propre : k et tous les vecteurs sont des vecteurs propres. La matrice d'une homothétie dans un espace vectoriel de dimension n est k*In où In est la matrice Identité.

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