Histoire de la logique
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L'histoire de la logique, en Occident, prend ses racines dans la philosophie et les mathématiques de la Grèce antique pour se développer en richesse au XXe siècle. Des développements parallèles ont notamment eu lieu en Chine et en Inde. Le développement de la logique dans le monde islamique s'intègre à celui de l'Europe, du fait de leur proximité.
Sommaire |
[] Logique pré-moderne
[] Logique chinoise
La logique chinoise est longtemps restée isolée des développements de la logique en Europe et dans le monde islamique.
La fondation de l'école du moïsme est attribuée à Mozi. Ses canons ont trait à la dérivation d'inférences valides et aux conditions selon lesquelles on peut tirer des conclusions valides. Un école dérivée dite des Logiciens se voit parfois attribuer la découverte des bases de la logique formelle.
Cependant, de par la montée en pouvoir du légisme de la Dynastie Qin, cette voie de recherche disparaît jusqu'à l'introduction de la philosophie indienne, par le biais du bouddhisme.
[] Logique indienne
Des six écoles de pensée indiennes, deux ont trait à la logique : Nyaya et Vaisheshika. Une école réaliste Nyaya de Gotama établit un schéma d'inférence à cinq parties : la prémisse initiale, la raison, un exemple, une application et une conclusion. La philosophie bouddhiste devient la principale opposition à cette école. C'est l'analyse "catuskoti" ou de tetralemme qui constitue à systématiquement falsifier toute proposition. Ceci se fait en quatre étapes : on examine et rejette une proposition, on rejette sa négation, on rejette son affirmation et sa négation et, finalement, on rejette son affirmation et sa falsification.
C'est toutefois plus tard que la philosophie bouddhiste atteint son apogée avec Dignaga et Dharmakirti. Une doctrine « de la différentiation » est développée : on pourrait dire qu'il s'agit d'une théorie de définition des propriétés d'inclusion et d'exclusion. Au XVIe siècle, l'école de Navya-Nyāya introduisait une analyse formelle de l'inférence.
[] Époque babylonnienne
La rigueur est une caractéristique de la société babylonnienne qui préfigure le raisonnement logique. Cela se manifeste dans le Code d'Hammurabi où le droit est établi sur des règles précises qui relient la peine encourue au délit perpétré. De même, les premiers algorithmes écrits sur des tablettes d'argile décrivent des calculs parfois très sophistiqués suivant un schéma très précis.
[] Antiquité grecque
Dans le monde occidental, les bases de la logique qui ont été formalisées par Aristote et Euclide, perdurent jusqu'à notre époque. Cependant, leurs approches distinctes ne se rejoindront qu'au siècle dernier.
L'objet de la logique d'Aristote est l'analyse des formes de pensée permettant de construire un discours (logos en grec) philosophique cohérent. Sa formalisation au XIIIe siècle dans un traité appelé Organon structure la logique à partir de concepts comme la catégorie ou le syllogisme dont on trouve encore des analogies avec la logique mathématique actuelle.
Euclide (vers -325, mort vers -265) est un formalisateur qui expose sa doctrine dans un ouvrage appelé Eléments, constitué de 13 livres. Son objectif se limite à fonder un corpus logique suffisant pour les mathématiques. Les éléments fondamentaux qu'il appelle « notion ordinaire » ou postulat sont spécifiques aux mathématiques. Ils ne peuvent prétendre à la généralité que couvre la logique d'Aristote, qui est essentiellement à finalité philosophique. Un exemple de postulat est : « Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.»
La Grèce antique a vu aussi une autre forme de logique, la logique mégarico-stoïcienne, très différente dans ses principes (voir Stoïcisme).
[] Moyen Âge européen
Voir l’article Sciences et techniques islamiques.Dès le haut Moyen Âge, le savoir était structuré dans les arts libéraux, qui comprenaient le trivium, displines plutôt littéraires, et le quadrivium, displines plutôt scientifiques. Le trivium comprenait la grammaire, la rhétorique, et la dialectique. Celle-ci avait été transmise de l'antiquité grecque par l'intermédiaire de saint Augustin et Platon. La dialectique consistait en un jeu de questions/réponses, qui visait à chercher la vérité.
A partir de la deuxième moitié du Xe siècle, par les contacts avec la civilisation islamique alors en plein essor, l'occident commença à redécouvrir la philosophie d'Aristote. Gerbert d'Aurillac, philosophe et mathématicien, réintroduisit la dialectique dans l'école de Reims. Gerbert d'Aurillac devint pape sous le nom de Sylvestre II en 999. C'est le pape de l'An mil.
Au XIIe siècle, les œuvres d'Aristote furent progressivement traduites à Tolède et dans quatre villes d'Italie, puis diffusées dans tout l'occident.
C'est ainsi que, au XIIIe siècle, l'école scolastique restructura le savoir sous l'impulsion de saint Thomas d'Aquin. Elle développa une logique essentiellement fondée sur les traités d'Aristote portant sur ce thème, regroupés dans l'Organon. La philosophie fut alors subdivisée en logique, métaphysique, et éthique. Comme la philosophie et les sciences médiévales (mathématiques, médecine,...), elle s'inspira des grands philosophes et savants « islamiques », avec des philosophes tels qu'Averroès.
Les premiers piliers du savoir étaient alors la Bible et l'Organon, ainsi que la métaphysique et l'éthique. La foi en Dieu, la logique et la métaphysique d'Aristote étaient les sources d'un véritable savoir. La logique, au sens d'une construction mathématique, et l'observation n'étaient pas considérées comme les voies du savoir noble. Le savoir était alors divisé en deux grandes parties, l'episteme, le savoir noble, qui s'intéressait au pourquoi enseigné dans les studia humanitatis, et la techne enseignée dans les écoles d'Abaco qui s'intéressait au comment. Si l'Organon d'Aristote entrait dans l'espisteme, les mathématiques étaient essentiellement enseignées dans les écoles d'Abaco.
[] Période Classique
La période qui s'étend de la Renaissance au XVIIe siècle va voir un bouleversement si profond dans sa manière d'appréhender la logique que l'on parle souvent de révolution: la révolution copernicienne. Le système formel, qu'il soit d'ordre mathématique ou plus généralement d'ordre philosophique ne résiste pas au besoin des développements de la science. La construction d'Euclide n'est plus suffisante, la logique mathématique prend alors une nouvelle forme autorisant une part plus grande à l'intuition au détriment du formalisme. La physique au sens moderne du terme apparaît comme une source de savoir qui demande une profonde réforme de pensée à la fois sur l'empirisme (c'est à dire sur le rapport à l'expérience) et sur le rôle de la logique formelle qui apparaît de moins en moins comme le bon outil de source de savoir.
[] Période Classique et mathématiques
Les mathématiques prennent alors une liberté vis à vis du formalisme qui ne fera que grandir. Dès le début du XVIe siècle Cardano utilise des nombres imaginaires qui ne suivent alors aucun formalisme acceptable dans des calculs intermédiaires. A l'aide de cette méthode, il résoud un vieux problème, celui des polynomes de degré 3. Il est alors aisé de justifier le résultat par une vérification a posteriori. Il est à cette époque admis que cette technique n'est pas totalement acceptable, mais qu'importe si elle permet de résoudre de manière juste. Cette approche quitte le formalisme, mais uniquement pour un temps, celui de la recherche de la solution. Ensuite, la solution trouvée respecte parfaitement les postulats d'Euclide. Cette première lézarde dans l'édifice de la logique formelle n'est donc pas si redoutable.
Durant le XVIIe siècle et poussé par les besoins de la physique le calcul infinitésimal apparaît. Cette branche des mathématiques prolonge les travaux de l'antiquité grec sur la limite d'une suite ou d'une série. Ces travaux avaient été initiés par des paradoxes comme celui de Zénon ou les premiers résultats qu'avaient établis Archimède pour la quadrature de la parabole. Cette branche des mathématiques traite du calcul de la vitesse, de l'accélération et de manière plus général du calcul différentiel et intégral.
Suivre un formalisme logique suppose une approche qui s'appuie sur propositions démontrées sur la base d'axiomes ou de propositions déjà démontrées et avec des rêgles bien définies. Or le calcul infinitésimal suppose la notion de limite. A cette époque ce concept ne peut être appréhendé qu'à l'aide d'une approche intuitive. Leibniz et Newton proposent alors une notion d'infiniments petits. Cette notion, proche du 0 permet néanmoins des divisions entre eux. alors que le calcul de 0/0 n'est pas défini dans le cadre d'une logique formelle, il devient ici sensé et permet même d'être calculé. La logique mathématique devient donc un mélange d'intuition et de formalisme Euclidien. On peut dire qu'à cette époque, jamais les mathématiques et la logique au sens formel du terme n'ont été aussi éloignées.
Cette démarche est néanmoins trop puissante et démontre des résultats trop importants pour être refusée. La théorie de la gravitation universelle, fruit de ces nouvelles mathématiques, montre le premier exemple de loi physique s'appliquant non seulement sur terre mais aussi dans l'espace. Ce resultat aussi met fin à une vieille polémique sur le fait de savoir si la terre tourne autour du soleil ou l'inverse.
L'absence de formalisation disponible a ainsi poussé les mathématiques à quitter clairement le champs de la logique pure pour admettre des outils que seuls l'intuition autorise mais que la logique condamne.
[] Période Classique et philosophie
La révolution en matière de logique touche de manière aussi profonde la philosophie. Cette révolution se situe dans une période correspondant approximativement au même moment que l'évolution de la logique en mathématique.
Au tournant du XVIe siècle Léonard de Vinci est un vivant exemple de la volonté de réforme de la philosophie par une approche logique distincte. Il remet un question la notion de logique formel au sens d'Aristote comme source de savoir au profit de l'expérience. Son utilisation du mot expérience ne correspond néanmoins pas à l'image moderne que l'on s'en fait mais plus à la notion d'observation. Il écrit dans le codex Atlanticus 119 v-a "Je me rend bien compte que, du fait que je ne suis pas un lettré, certains présomptueux croiront pouvoir me blâmer en alléguant que je suis un ignorant ... Et l'expérience ayant été la maîtresse de ceux qui écrivent bien, je la choisis pour maîtresse et, en tout cas, ferai appel à elle." L'intuition de Vinci va plus loin. Il est, dans la deuxième partie de sa vie que la clé du savoir ne réside pas dans l'analogie mais dans les mathématiques. Il étudie systèmatiquement Euclide dans les année 1497-1499. Il souhaite comprendre le monde à l'aide d'une représentation mathématique correspondant à l'observation. Par exemple Léonard souhaite expliquer les mouvements de la langue "au moyen de [ses] principes mathématiques". Cependant ses faiblesse en mathématiques ne lui permettent pas de batir un savoir ayant muté d'un fondement logique provenant de l'Organon à une logique euclidienne. Les éléments de la révolution sont tous là, même si elle ne peut avoir lieu à cette époque par manque de résultats tangibles.
Un siècle plus tard Galilée remet gravement en question le savoir de son temps par son approche du cosmos. Il a utilisé avec succés les mathématiques pour définir les bases de la dynamique. Ces bases, qui permettent par exemple de calculer la trajectoire d'un boulet de canon sont inattaquables. Il applique alors ses conceptions sur le système solaire pour préconiser le modèle héliocentrique de Copernic contre la construction Aristotelicienne. Cette démarche déplace la source d'un savoir d'un champs métaphysique au domaine de la physique. De par ce fait, Galilée remet en question les fondements du savoir et de l'accès à la vérité. La techné qu'il utilise à travers des lunettes astronomiques dont il est l'un des précurseur, l'expérience et la modélisation mathématique pourraient ainsi contredire l'Organon, la métaphysique et l'interprétation de la bible. Faute de preuves la polémique reste ouverte et il est condamné par l'Eglise. Cependant sa renommée est trop grande pour que cette attaque puisse être considérée comme anecdotique. . Ses cartes du ciel, utiles pour la navigation, restent utilisées car ce sont les plus précises de son époque.
A la fin du XVIIIe siècle Newton apporte la preuve tangible de la bonne conception du système solaire. la révolution initialisée à l'époque de Vinci d'une explication du monde qui n'est plus fondée sur la logique Aristotélicienne et la Bible mais batit sur l'expérience et la logique mathématiques est admise pour au moins un cas. Cette révolution touche tous les pouvements philosophiques. Le siècle des lumières considère cette découverte comme un pilier du savoir. Cette démarche fondée sur une nouvelle 'logique' qu'on appelle à l'époque la "raison éclairée de l'homme" est l'approche essentielle de cette philosophie. L'appel à la logique au sens de l'expérience et des mathématiques est permanente et Dieu est étudié sous un angle différent de celui uniquement de la métaphysique et de la vérité révélée par la bible.
[] Le XIXe siècle et la logique
A faire
[] Logique moderne
Voir l’article Logique mathématique.Frege jette les bases de la logique moderne.
Avec les travaux d'Hilbert, le XIXe siècle réconcilie la logique et les mathématiques avancées. Hilbert met fin à ce qu'il qualifie de maladie infectieuse. La notion d'axiome prend un nouveau tournant : la définition axiomatique d'un concept et la base axiomatique d'une mathématique sont deux notions relativement différentes.
La réconciliation est de courte durée. Cantor sème la pagaille en modifiant inconsciemment la base axiomatique. Dans le même temps, il met le doigt sur des propositions indécidables. Il s'avère que elles-ci ne peuvent être résolues qu'avec une compréhension de la logique plus profonde.
La logique ne devient plus logique. La logique qui reflétait essentiellement une évidence intuitive, s'ouvre à des paradoxes comme celui du menteur ou de l'ensemble de tous les ensembles. Husserl montre que la logique ne peut pas être cette base intuitive que tout le monde accepte.
Les fondements des mathématiques sont chahutées. Gödel y contribue par son théorème d'incomplétude et Brower en introduisant l'intuitionnisme. La logique gagne en relativité, les propositions ne sont plus vraies ou fausses mais aussi ni vraies, ni fausses. On peut ajouter autant d'axiomes que l'on veut et monter des systèmes mathématiques différents avec des axiomes inconciliables. La base axiomatique définie par Euclide et complétée par Hilbert semble céder de partout. Bourbaki reconstruit toutes les mathématiques sur une nouvelle base logique (ou du moins sur une base qu'« il » croit être logique), la théorie des ensembles, « il » ignore, en particulier, le résultat de Gödel. Il est alors admis que la logique n'est plus une transcendance fondée sur une base d'axiomes intangibles obligatoires et éternels.
[] Logique contemporaine
La logique devient une des bases d'une nouvelle science, l'informatique. Elle contient la base d'un des grands problèmes de notre temps, les problèmes NP- complets (voir théorie de la complexité).
Une base axiomatique, l'analyse non standard, remet au goût du jour et de façon rigoureuse les vieilles méthodes de calcul différentiel. On n'aurait pas encore démontré de théorème majeur avec ces méthodes.
Dynamisée par le renouveau de la théorie des types, la correspondance de Curry-Howard établit les liens forts qui existent entre démonstration et calcul. A côté de la logique classique, la logique intuitionniste prend une place importante comme première logique constructive ,et le lambda calcul qui lui est intimement lié permet de fonder la théorie du calcul, de l'informatique et des langages de programmation, tandis que de nouvelles logiques sous structurelles apparaissent comme la logique linéaire permettant de mieux appréhender le raisonnement logique et pourquoi pas proposer une grande unification de la logique.
[] Voir aussi
[] Liens externes
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