Gradient

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\Delta=\nabla^2
=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
Article d' Analyse vectorielle
Équation aux dérivées partielles
Équation de Laplace
Équation de Poisson
Théorème de Green
Théorème de Stokes
Electrostatique


Opérateurs
Nabla
Laplacien
Gradient


en théorie physique
groupe
physique mathématique
Modèle standard (physique)

Le gradient est une grandeur vectorielle qui indique comment une grandeur physique varie en fonction de ses différents paramètres.

La façon francophone d'écrire cet opérateur pour une fonction scalaire f est \overrightarrow{\mathrm{grad}}~f ou \overrightarrow{\nabla} f. La notion de vecteur est souvent implicite ; Les pays anglosaxons préfèrent écrirent cet opérateur simplement \mathrm{grad}~f ou \nabla f.

Avant d'en donner une définition mathématique , il est peut-être bon d'en faire une approche pragmatique à l'aide de quelques exemples.

Sommaire

[] Le gradient de température

[] Gradient dans une seule direction

Imaginons que nous mesurions la température d'un solide, d'un liquide, d'un gaz dans une seule direction (hauteur, longueur, épaisseur). Il s'avère que la température T dépend de l'endroit x où elle est prise . On définit alors une fonction T(x). On peut chercher , pour une petite variation de x (dx), quelle serait la variation de température (dT). Celle ci s'écrit dT = T(x + dx) − T(x).

Si on cherche à quelle variation moyenne cela correspond, il faut calculer

\frac{dT}{dx} = \frac{T(x + dx) - T(x)}{dx}.

C'est ce qu'on appelle communément le gradient de température.

De manière très pragmatique, on peut imaginer que la température est une fonction linéaire du déplacement, alors le gradient de température devient tout simplement la variation moyenne de température en fonction du déplacement

\frac{\Delta T}{\Delta x}

Mais certains reconnaitront là le taux d'accroissement de la température T en fonction du déplacement et pourront remarquer que, pour dx « très petit », ce quotient se rapproche de la dérivée de la température en fonction du déplacement, dérivée notée en mathématique T'(x) et en physique \frac{dT}{dx}. On appelle alors gradient de température cette dérivée.

[] Gradient de température dans trois directions opposées

En réalité, la température varie en fonction d'un déplacement dans l'espace donc en fonction de x, y et z. Il s'agit alors d'une fonction T dépendant de trois variables x, y, z. Un déplacement dans une des trois directions, induit une variation de température que l'on peut comme précédemment, quantifier par

\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}. On crée alors un vecteur
\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) =\overrightarrow{ \nabla}(T)= \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}\right)

de nouveau appelé gradient de température.

Bilan : nous étions partis d'une fonction de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R} et nous aboutissons à une fonction vectorielle de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R} ^3.

Connaissant la température à l'endroit (x0,y0,z0), il est possible de déterminer la température en un point (x0 + dx,y0 + dy,z0 + dz)

T(x_0+dx , y_0+dy , z_0+dz) = T(x_0,y_0,z_0) + \frac{dT}{dx}.dx + \frac{dT}{dy}.dy + \frac{dT}{dz}.dz

En écriture condensée, cela donne

T(\vec{v}+d\vec{v}) = T(\vec{v}) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) (\vec{v})\cdot d\vec{v}

où le point représente le produit scalaire des deux vecteurs

[] Variation de l'aire d'un rectangle

Considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu (de façon infinitésimale), la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy des centimètres montre que dx.dy est négligeable 'du second ordre'.

On écrit donc:

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy = (y,x)\cdot(dx,dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}
\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:

dS=(x+dx).(y+dy)-x.y =y.dx + x.dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{dOM} où \overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et que elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

(y\vec i +x \vec j )\cdot (dx\vec i+ dy \vec j)=0 pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

tracé du gradient e surface et d'une courbe d'"isosurfacetracé du gradient e surface et d'une courbe d'"isosurface

Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel:les 'équipotentielles'.

Le développement et l'utilisation du calcul infinitésimal a eu des conséquences importantes dans pratiquement tous les domaines. Il est à la base de beaucoup de sciences, notamment la physique. Presque toutes les techniques et technologies modernes font un usage fondamental du calcul infinitésimal.

Le calcul infinitésimal s'est étendu avec les équations différentielles, le calcul vectoriel, le calcul des variations, l'analyse complexe, ou la géométrie différentielle.

[] Définition mathématique

Si f est une fonction de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R} différentiable au point a, on appelle gradient de f dans un repère cartésien, le vecteur

\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}.

Il est fréquent en mathématiques d'appeler une telle fonction un champ scalaire, le gradient devenant un champ vectoriel.

Cette définition se généralise à toute fonction f différentiable d'un ouvert d'un espace vectoriel euclidien E dans \mathbb R. Le gradient de f en a est alors défini comme le vecteur \overrightarrow{\mathrm{grad}}(f)(a) tel que

f(a + \overrightarrow{da}) - f(a) = \left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}(f)(a) \cdot \overrightarrow{da}\right)

[] Voir aussi

Analyse vectorielle

Gradient