Espace vectoriel normé
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La notion d'espace vectoriel normé, très utile en analyse fonctionnelle, a notamment été développée par David Hilbert et Stefan Banach.
Sommaire |
[] Définition
Un espace vectoriel normé est la donnée d'un espace vectoriel E et d'une norme 
sur E. On notera (E,) le couple formé par l'espace vectoriel et sa norme.
[] Topologie d'un espace vectoriel normé
On peut, à partir de la norme sur l'espace vectoriel E , construire une distance d. En effet, on la définit par :
On vérifie aisément que les trois axiomes qui définissent une distance sont vérifiés.
On munit alors l'ensemble E de la topologie associée à l'espace métrique (E,d).
Remarque : la distance associée à la norme est invariante par translation. Cela signifie que :
.
Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach.
[] Espace vectoriel normé de dimension finie
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, alors :
- Toutes les normes sur E sont équivalentes.
- E est complet.
- Les parties compactes de E sont les fermés bornés.
- La boule unité (fermée) de E est compacte.
- Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est continue.
[] Théorème de Riesz
Voir l'article de fond : Théorème de Riesz
- Si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel normé E est compacte, alors E est de dimension finie.
[] Voir aussi
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