Ensemble

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Dans la théorie naïve des ensembles, le point de départ est la notion d'ensemble, décrite comme une collection d’objets mathématiques appelés éléments ou points. Plus précisément, le créateur de cette théorie, le mathématicien Georg Cantor définissait les ensembles comme « une multitude qui peut être imaginée comme un tout ». Plus précisément « Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten M unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen. »

Remarque : dans la théorie axiomatique des ensembles, le point de départ est plutôt la notion d’appartenance, qui est alors primitive, et ne se définit donc pas. La notion d’ensemble a alors un statut plus flou. Si dans la théorie ZF (Zermelo-Fränkel), c’est aussi une notion primitive, puisque tous les objets primitifs de cette théorie ne peuvent être que des ensembles, par contre, dans la théorie NGB (Neumann - Gödel - Bernays) par exemple, les objets primitifs sont des classes, et les ensembles y sont définis comme les classes pour lesquelles il existe des classes les contenant.

Sommaire

[] Ensembles, éléments et appartenance

Un ensemble est désigné en général par une lettre latine majuscule, par exemple l’ensemble « E ». Il peut être vu comme une sorte de sac virtuel entourant ses éléments, ce que modélisent bien les diagrammes de Venn.

Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature: nombres, gens, autres ensembles... Par exemple, lundi est un élément de l’ensemble des jours de la semaine, et 4 est un élément de l’ensemble des nombres pairs. Ce dernier exemple montre que les ensembles peuvent être infinis (c’est-à-dire avoir un nombre infini d’éléments).

Le rapport entre un ensemble, noté par exemple A, et l’un quelconque de ses éléments, noté par exemple x, s’écrit : x \in A.

Cet énoncé peut se lire :

  • « x appartient à A »,
  • « x est élément de A »,
  • « x est dans A »,
  • « A a pour élément x »,
  • « A possède x »,
  • ou « A contient x ».

Le symbole « \in », introduit par Giuseppe Peano en 1888, dérive de la lettre grecque epsilon, « ε ».

Une variante de ce symbole décrit la non-appartenance d’un objet à un ensemble :

« z \ _\not\in A » signifie « z n’appartient pas à A ».

[] Égalité de deux ensembles

Nous définissons l’égalité de deux ensembles A et B, notée « A = B », en affirmant que deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments :

( A = B ) \Leftrightarrow [ \forall\ x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ] \,

où « ⇔ » désigne l'équivalence logique. Les deux ensembles sont alors identiques, c'est-à-dire que tout ce qui peut être dit de l'un peut être dit de l'autre (voir Axiome d'extensionnalité). Si nous nous représentons les deux ensembles comme des sacs étiquetés chacun par leur nom, s’ils sont égaux, alors il s’agit en fait d’un seul et même sac avec deux étiquettes. En sens inverse, les propriétés d’un ensemble ne dépendent absolument pas de la nature ou de la forme du sac, seulement de son contenu.

Ainsi un ensemble est complètement déterminé par ses éléments. Il peut l’être aussi par la donnée d’une propriété caractéristique de cet ensemble. Par exemple, l’ensemble formé par les éléments 2, 3, et 5 est égal à l’ensemble de tous les nombres premiers inférieurs à 6. Nous avons ainsi deux manières de définir un ensemble : donner la liste de ses éléments ou une propriété caractéristique. Commençons par le cas le plus simple.

[] Singletons et paires

Pour tout élément a, nous pouvons définir un ensemble S dont a est l’unique élément :

\forall\ a , \exists\ S /\ \forall\ x , \, ( x \in S ) \Leftrightarrow ( x = a ) \,

L’existence de cet ensemble est garantie par l’Axiome de la paire, son unicité pour chaque a par l’Axiome d'extensionnalité. Il est appelé singleton et est noté « { a } » ( lire « singleton a » ).

Pour tout élément a et tout élément b, nous pouvons définir un ensemble P dont a et b sont les uniques éléments :

\forall\ a , \forall\ b , \exists\ P /\ \forall\ x , ( x \in P ) \Leftrightarrow [ ( x = a ) \vee ( x = b ) ] \,

où \vee désigne le OU logique inclusif. L'existence de cet ensemble est garantie par l’Axiome de la paire, son unicité pour a et b donnés par l’Axiome d'extensionnalité. Il est noté « { a, b } » ( lire « ensemble a, b » ).

  • si a et b sont égaux, nous constatons que, d’après la définition, { a, a } n’est autre que le singleton { a } ;
  • si a et b sont distincts, { a, b } est appelé paire de a et de b.

Par exemple, { 1, 2 } représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2 (voir l’article : « Paire »).

Nous aurons besoin dans un autre article des deux lemmes d’égalité suivants :

SP1 : deux singletons sont égaux si et seulement s’ils partagent le même élément :

\forall\ a , \forall\ b , \, ( \{ a \} = \{ b \} ) \Leftrightarrow ( a = b ) \,

SP2 : deux paires (qui peuvent être des singletons)   { a 1 , a 2 }   et   { b 1 , b 2 }   sont égales ssi   a 1 est égal à b 1   et   a 2 à b 2 ,   ou si   a 1 est égal à b 2   et   a 2 à b 1  :

\forall\ a_1 , \forall\ a_2 , \forall\ b_1 , \forall\ b_2 , \,
( \{ a_1 , a_2 \} = \{ b_1 , b_2 \} ) \Leftrightarrow [ ( a_1 = b_1 \wedge a_2 = b_2 ) \vee ( a_1 = b_2 \wedge a_2 = b_1 ) ] \,

[] Définition d'un ensemble en extension

La notation précédente entre accolades peut être généralisée. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine peut être représenté par { lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche }. L'existence de l'ensemble ainsi défini est garantie par les axiomes de la paire et de la réunion, et son unicité pour une liste d’éléments donnés par celui d’extensionnalité.

Notons les points suivants :

  • Les éléments d’un ensemble ne sont pas obligés de partager un point commun : par exemple, nous pouvons créer l’ensemble { le mètre-étalon, 1, le chat de la voisine, le mot « anticonstitutionnel », Georg Cantor, le 29 février 2000, la planète Mars }, bien qu’il ne semble pas d’un grand intérêt pratique...
  • L’ordre des éléments est sans importance; si nous reprenons l’exemple de la fin de la section précédente, { 1, 2 } = { 2, 1 }.
  • La répétition d’éléments entre les accolades ne modifie pas l’ensemble :
toujours avec le même exemple, { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 } = { 1, 2 }.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d’éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : \ _\mathbb N = { 0, 1, 2, 3, ...}.
Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l’écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 } s’écrit plus simplement { 1, 3, 5, ..., 21 }.
Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {chiens} désigne l’ensemble de tous les chiens.
Un exemple limite de cette notation est « { } », que certains utilisent pour désigner l’ensemble vide.

[] Définition d’un ensemble en compréhension

On peut aussi définir un ensemble F à partir d'un ensemble E et d'une propriété P caractéristique, c’est-à-dire telle que l’appartenance à F soit équivalente à la vérification de cette propriété. En notation symbolique :

\forall E, \forall\ P , \exists\ F, \forall\ x , x \in F \Leftrightarrow (x \in E \land P(x))

L’ensemble F est noté \{ x \in E \;|\; P(x)\} ( lire « l’ensemble des x\ de E tels que la condition P(x)\ soit vraie » ).

Par exemple :

  • \{ z \in \mathbb C \;|\; z = \bar z \} désigne l’ensemble des nombres réels \mathbb{R}.
  • \{M \in \mathcal M_n(\mathbb K) \;|\; {}^tM = M\} désigne l’ensemble des matrices symétriques.
  • \{x \in \mathbb Z \;|\; x \;\rm{pair}\;\} est l’ensemble de tous les entiers pairs

L’ensemble est alors dit « défini en compréhension ». La notation correspondante est appelée constructeur d’ensemble dans le contexte de la programmation fonctionnelle.

L'existence d'un tel ensemble est garantie dans la théorie axiomatique des ensembles par le schéma d'axiomes de compréhension. Dans la théorie naïve des ensembles toute définition de ce type est un axiome implicite. Mais dans ce cas, rien ne garantit a priori que l'objet ainsi défini puisse exister sans contradiction. Un contre-exemple célèbre est celui de l' « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes » ( voir le paragraphe « Paradoxe de Russell » dans l’article « Théorie naïve des ensembles » ). Un autre contre-exemple est celui de l'"ensemble des entiers naturels définissables en moins de quatorze mots" conduisant au paradoxe de Berry.

Une notation analogue existe dans le schéma d'axiomes de remplacement :

  • \{F(x)\;|\;x \in A\} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les membres de l’ensemble A dans la formule F. Ainsi, prolongeant l’exemple précédent, \{2x\;|\;x\in \mathbb Z\} est encore l’ensemble de tous les entiers pairs. Ce dernier exemple se justifie en fait par compréhension. Les "vraies" utilisations du schéma de remplacement sont assez techniques.

[] Voir aussi

Le Wiktionnaire possède une entrée pour « ensemble ».
Ensemble