Axiome de fondation

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L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs.

Il stipule que pour tout ensemble x non vide, il existe un ensemble y appartenant à x et n'ayant aucun élément en commun avec x.

L'ensemble y peut être l'ensemble vide, et doit d'ailleurs l'être si x est un ensemble transitif non vide.

Ainsi les ensembles décrits par la théorie axiomatique reflètent davantage l'image intuitive :

  • On ne peut avoir x \in x : aucun ensemble n'est élément de lui-même ;
  • On ne peut avoir x_1 \in x_2, x_2 \in x_3, \ldots, x_n \in x_1 : aucun cycle d'appartenance n'est possible ;
  • On ne peut avoir, de manière générale, de suite infinie d'ensembles, telles que x_2 \in x_1, x_3 \in x_2, \ldots, x_{n+1} \in x_n.

Cette dernière propriété signifie que le prédicat à deux variables libres « x \in y » est une relation bien fondée. Elle est équivalente à l'axiome de fondation si l'axiome du choix dépendant est vérifié. Ce dernier est un axiome du choix très faible qui permet de construire des suites et que le non spécialiste de logique mathématique suppose intuitivement toujours vérifié, souvent sans le savoir.

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